Методика преподавания


Трохова Н.С.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

В области теплофизики и теплотехники, как во многих других областях научно-производительной деятельности, экспериментальные исследования высоко автоматизированы, Раннее принятые "ручные" способы обработки данных уже не в состоянии справиться с богатым объемом информации. С другой стороны, благодаря повышению точности наблюдений, эта информация содержит более точные данные об изучаемых объектах. Задача состоит в том, чтобы научиться извлекать эти данные, используя всю информацию, доставляемую наблюдениями.
Базой для решения этой задачи служит развитие вычислительной техники. Однако для рационального использования ЭВМ в указанных целях необходимо особое внимание уделять вопросам корректности математической постановки задач и разработке устойчивых алгоритмов решения. Это в первую очередь относиться к обработки задачам.
При формулировке общих постановок и выделение основных классов обработанных задач предполагаются известными постановками прямых задач, таким образом есть классических задач теории теплообмена. Каждая прямая задача в рамках принятой математической модели может быть сопоставлена с некоторым множеством обратных задач.
Все постановки задач между твердым телом или некоторой системой и окружающей средой рассматриваются с точки зрения соотношений причина - следствий. При этом к причинным характеристикам теплообменного процесса в теле (система тел) в соответствии с принятой моделью отнесем граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофизические средства, внутренние источники теплоты и проводимости, а также геометрические характеристики тела или системы. Тогда следствие будет, таким образом, или иное тепловое состояние определяемое температурным полем исследуемого объекта.
Установление причинно - следственных связей составляет цель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, таким образом, имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.
Постановка обратных задач, в отличии от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, то есть нарушить причинно -следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о физической некорректности обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач теплообмена.
Нарушение причинно - следственной связи, имеющее место в исходной постановке обратной задачи, предопределяет серьезные трудности их решения. В первую очередь, это трудности разработки методов и алгоритмов, дающих достоверные результаты.
Допустим, что причинно - следственная связь между искомой характеристикой и наблюдаемой величиной установлена. Тогда приходим к математической формулировке обратной задачи.
Математическая задача называется корректно поставленной, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) решение задачи существует при любом x входных данных;
2) решение единственно;
3) решение устойчиво относительно малого возмущения входных данных.
Задача, не удовлетворяющая по крайне мере одному из этих условий, называется некорректно поставленной.
Обратные задачи относятся к числу некорректно поставленных. Если "решение" проводится на ЭВМ, таким образом часто обнаруживается, что чем точнее конечная аппроксимация задачи, тем с большей погрешностью получается приближение к решению, не имеющих при этом ничего общего с ним.
Тем не менее, практика физических исследований уже длительное время приводит к необходимости "решать" некорректно поставленные задачи. Решение их обычно основывалось на упрощенных моделях объекта или явления, когда последние характеризовались небольшим числом параметров. Например, метод подбора при решении задач такого рода, Понятно, что на этом пути можно получить лишь приближенные представления о свойствах объекта или характеристиках определяемых величин. Такой подход к решению задачи не использует всех возможностей, доставляемых современным уровнем точности наблюдений и развитием вычислительной техники.
Эти возможности могут быть использованы при изучении новых постановок обратных задач и использование предложенных в сравнительно недавнее время устойчивых алгоритмов их решения. Задача развития таких постановок и алгоритмов не является только математической, но общетеоретической проблемой, решение которой возможно лишь при тесном сотрудничестве исследователей физиков и математиков.
Рассмотрим в общем виде несколько примеров из физики.
1. Одномерная задача теплопроводности в двухслойной пластине. Полагается, что материалы слоев имеют разные теплофизические характеристики, и в одном из них происходит фазовый переход, например, плавление материала. Границы слоев могут перемещаться с течением времени вследствие каких-либо физических процессов (уноса массы, температурного расширения или термической усадки материалов, механических деформаций). Подвижным является также и внутренний фронт фазового превращения.
2. Задача об историческом климате планеты. Ее предметом служит изучение изменений температуры на поверхности земли в предшествующий период времени по данным измерениям в данный момент температуры на различных уровнях в глубь земли.
3. Задача вентиляции. В канале продувается воздух, отдающий тепло стенкам.

Следует отметить, что преподавать тему “ Методы решения обратных задач для уравнений параболического типа” рекомендуется на третьем – четвертом курсе как для студентов физико-математического факультета в курсе “ Численные методы”, так и для студентов высших учебных заведений с техническим профилем. На изучение этой темы следует отвести:
1. теоретический материал – 2-4 часа;
2. практическая часть – 2-4 часа;
3. самостоятельная работа –2 часа.

Содержание


1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 6
2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 7
2.1. ПОСТАНОВКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 7
2.2 КРАЕВАЯ ПОСТАНОВКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 9
2.3 ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОСТАНОВКЕ КОШИ 10
3. ПОНЯТИЕ НЕКОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 14
3.1 УСЛОВИЕ АДАМАРА 14
3.2 НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 16
4. ПОНЯТИЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 18
4.1. САМОРЕГУЛЯРИЗАЦИИ (ЕСТЕСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ) 18
4.2 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПО МЕТОДУ А.Н. ТИХОНОВА 21
5. МЕТОД СЕТОК 23
6. ПРИМЕР ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 25

Извените, но так как работа содержит большое число формул и рисунков обе части доступны только в PDF формате.

Чтобы скачать работу нажмите "здесь".

Скачать (318kb) Скачать PDF